MOMEN KEMIRINGAN DAN
KURTOSIS
A. Momen
Misal diketahui
variabel X dengan harga X1, X2, X3 . . . . Xn. Jika
A sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2,
3, maka momen di sekitar A
disingkat m’r didefinisikan
oleh
Dengan
n
= ,Xi = tanda
kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan
cara coding, rumusnya:
m’r = , P
= Panjang kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r harga-harga
mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2 = m2’
– (m1’)2
m3 = m3’
– 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4 = m4’
– 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)
Untuk menghitung momen
disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan
sebagai berikut:
TABLE 5.1: Table
pembantu untuk mencari m
|
Data
|
f1
|
Ci
|
f1Ci
|
f1C12
|
f1C13
|
f1C14
|
|
60 – 63
64 – 67
68 – 71
72 – 75
76 – 70
|
5
18
42
27
8
|
-2
-1
0
1
2
|
-10
-18
0
27
16
|
20
18
0
37
42
|
-40
-18
0
27
64
|
80
18
0
27
128
|
|
Jumlah
|
100
|
15
|
97
|
35
|
253
|
Dapat
dihitung:
m1 =
|
|
|||
m2 =
m3 =
m4 =
Sehingga
dengan menggunakan hubungan di atas:
m2 =
m2’ – (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 =
m3’ – 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 =
5,28 – 3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456
m4 = m4’
– 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)........... = 40,48
– 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,62x15,52 – 3x0,42 =
60,9424 Jadi Varian S2 = m2 = 15,16
B . Kemiringan
Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya bisapositif,
negatif atau simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya
mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya,
jika ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negatif. Dalam kedua hal
terjadi sifat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang
ditentukan oleh :
|
Kemiringan =
|
Rata-rata - Modus
|
|
Simpangan Baku
|
Rumus empirik untuk kemiringan, adalah :
|
Kemiringan =
|
3 (Rata-rata - Modus)
|
|
Simpangan Baku
|
Rumus-rumus berturut-turut dinamakan koefisien kemiringan
pearson tipe pertama dan kedua.
Kita katakan model positif jika kemiringan positif, negatif jika
kemiringan negatif dan simetrik jika kemiringan sama dengan nol.
Contoh : Data nilai ujian 80 mahasiswa telah
menghasilkan rata-rata 76,62; Me = 77,3; Mo = 77,17 dan simpangan baku s =
13,07.
|
Kemiringan =
|
76,62 - 77,17
|
= -0,04
|
|
13,07
|
Karena kemiringan negatif dan dekat kepada nol maka modelnya sedikit
miring ke kiri.
C. KURTOSIS
Kurtosis adalah Ukuran kelancipan distribusi data dimanadistribusi
normal sebagai pembanding. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu
rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakan mesokurtik, kurva yang
runcing dinamakan leptokurtiksedangkan yang datar
disebut platikurtik. Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien
kurtosis, diberi simbol a4,ditentukan dengan rumus a4 = (m4/m)
Kriteria yang didapat dari
rumus ini ialah:
a. a4 =
3 à Distribusi
normal
b. a4 >
3 à Distribusi
yagn leptokurtik
c. a4 <
3 à Distribusi
yang platikurtik
Untuk mengetahui apakah
distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien kurtosis persentil,
diberi simbul:
κ =
SK
= rentang semi antar kuartil
K3 =
kuartik ketiga
K1 =
kuartil kedua
P10
= persentil kesepuluh
P90
= persentil ke 90
Untuk
distribusi normal, harga κ = 0,263
Untuk contoh di atas telah
di dapat m4 = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga besarnya
koefisien kurtosis a4 = (m4/m ) = 60,9424/229,8256 =
0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman platikurtik.
Contoh: data nilai ujian
Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien kurtosis persentil
besarnya:
κ =
Dimana K1 dan K3 telah kita
hitung; K1 = 81,676 dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar
sebagai berikut:
|
No
|
Nilai Ujian
|
Fi
|
|
1
2
3
4
5
6
7
|
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
|
3
5
10
16
24
17
5
|
|
Jumlah
|
80
|
Dengan menggunakan rumus Pi
= b + P dimana P = panjang kelas dapat dihitung P10 dan P90. P10 akan
terletak pada data ke , yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5,
P = 10; F = 3 f = 5
P10 = 40,5 + 10 = 50,5
P90 akan terletak pada data
ke , yaitu pada kelas interval keenam, sehingga b = 80,5, P = 10, F = 8, f
= 17
P90 = 80,5 + 10 =
81,32
Tidak ada komentar:
Posting Komentar