Distribusi Normal, Distribusi t, dan Distribusi f. DISTRIBUSI PELUANG

BAB 6

Distribusi Normal, Distribusi t, dan Distribusi f.

DISTRIBUSI PELUANG

A.     Distribusi Binomial

Diperhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A (ditulisi ), dimana P (A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan percobaan sebanyak N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan peristiwa A dan sisannya (N-X) peristiwa.

Jika+ P(A) untuk tiap percobaan, 1- = P(A),

maka peluang terjadinya peristiwa a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:

P(x) = P(X=x) = ( ^x (1-∏) ^n-x

Dengan N! + 1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut merupakan koefisienbinomial

Rumus :     = N 

      σ = 

dimana parameter ditinjau dari peristiwa A.

contoh :

1.      Peluang untuk mendapatkan 6 muka A, ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang logam homogin sebanyak 10 kali adalah

P (x=7) =  (1/2)⁴

                               = 0,2050

2.      Pada pelemparan sebuah mata uang logam yang homogen sebanyak 5 kali, ditentukan X = banyaknya G (gambar) yang muncul. Carilah P (X≤2)

Jawab :   =1/2, X = 5

P(X≤2)      = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)

P9X=0)     = (1/2) ⁰(1/2)⁵     = 0,0312

P(X=1)      = (1/2) ¹(1/2)⁴

= 0,1562

P(X=2)      =  (1/2) ² (1/2)⁵

                                    = 0,3125

P(X≤2)      = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993

B.     Distribusi Poisson

Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan dari distribusi binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil

Rumus : P(X) = P (X=x) =

Dimana :    

x          = 0, 2, ………. = banyaknya sukses

e.         = 2,7183

λ          = bilangan tetap = n π

n          = banyaknya ulangan yang dilakukan

distribusi poisson mempunyai parameter :

μ = λ   

σ = 

contoh :

Jika peluang pengunjung yang pingsan saat melihat parade akibat terik matahari adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari 3000 pengunjung parade tersebut, trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik matahari.

Jawab : 

π = 0,005  n = 3000

λ = n π = 3000 (0,005) = 15

x = 18

P(X) = P (X=x)

C.     Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi dengan variabel acak kentinu dan merupakan distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal sering disebut sebagai distribusi Gauss.

Jika variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan : F(x) = 

Dimana : 

π = 3,1416

e = 2,7183

μ = parameter merupakan rata-rata untuk distribusi

σ= parameter merupakan simpangan baku untuk distribusi

nilai x : - , maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.

Apabila  = 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.

Fungsi identitasnya :

F(z) = 

Untuk Z ; -  < Z < 

Mengubah distribusi normal umum, menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh dengan menggunakan transforamsi:

Z = ;

Dimana μ = rata-rata dan σ = deviasi standar

Untuk m = 0 dan s = 1

Kurva normal mempunyai sifat-sifat antara lain:

1.      bentuknya simetrik terhadap sumbu x = m

2.      grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x

3.      grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = m - 3skekanan sampai m + 3

4.      mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = m sebesar 

5.      luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang kelima dengan rumus:

f (x) = , adlah . Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b), digunakan rumus:

P (a < X < b) = dk, untuk penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada daftar yang dimaksudkan.

Setelah kita memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi normal umum dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku dapag digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal baku dapat dicari. Caranya adalah:

1.      hitung Z hingga dua decimal

2.      gambarkan kurvanya

3.      letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.

4.      luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak dititik nol.

5.      dalam daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.

6.      dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.

Bilangan yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena seluruh luas = 1 dan kurva simetrik terhadap m = 0, maka luas dari garis tetak pada titik nol kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.

Contoh:

Penggunaan daftar normal baku.

Akan dicari luas daerah:

1.      antara z = 0 dan z = 2,26

Di baah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu ke kanan dan dari 6 menurut didapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881        

2.      antara z = 0 dan z = -2,26           

Di bawah Z pada kolom kiri cari 2,2 dan diatas sekali angka 6. dari 2,2 maju ke kanan dan dari 6 menurun di dapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881

3.      antara z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik terlihat kita perlu mencari luas daerah dua kali, lalu dijumlahkan dengan cara seperti no. 1

untuk z = 1,5 didapat 0,4332

untuk z  = 1,26 didapat 0,3962

jumlah = luas yang dicari  = 0,8294

4.      Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram.Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan:

a.       ada berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?

b.      Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.0000 bayi?

c.       Berapa bayi yang beratnya lebih kecil  atau sama dengan 40000 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi

d.      Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya ada5000 bayi?

Penyelesaian:

Dengan X = berat bayi dalam gram, m =rerata berat bayi dalam gram, m = 3750 gram, s = 325 gram,  maka:

a.       untuk X = 4500

Z = 

gram, pada grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 luasnya 0,4896 , luas daerah lebih besar 2,31 luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 = 0,0104. jika ada 1.04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram.

b.      dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31

Luas daerah yang dibatasi anara --0,77 sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794 dengan 0,4896 = 0,7690. Banyaknya bayi yang beratnya antara 3500 gram sampai 4500 gram adalah = 0,7690 x 10000 =7690.

c.       Bayi yang beratnya lebih kecil atua sama dengan 4000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi yang lebih kecil atau sama dengan 4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi  = (0,2206) x 10,000 = 2,206. Berat 4250 gram berarti berat antara  4249,5 gram dan  4250,5 gram.

Jadi untuk X = 4249,5 dan X = 4250,5 didapat:

Z =  Z = 

Maka luas daerahnya adalah 0,4382 – 04370 = 0,0012.

Banyaknya bayi  = 0.0012 x 5000 = 6

D.    Distribusi Student (t)

Distribusi dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal, ialah distribusi student atau distribusi t.

Rumus : t = 

Dimana:

t           = Rata-rata sampel

m         = rata-rata populasi

s           = simpang baku, populasi

Maka di dapat distribusi harga t dengan persamaan:

f (t) = 

dimana:

f =    merupakan bilangan tetap yang besarnya bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di bawah kurwa sama dengan satu unit.

(n – 1) = m    =    derajat kebebasan, biasa disingkat dengan dk

Bentuk grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0, sehingga sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar, biasanya > 30, distribusi t mendekati distribusi normal.

Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun dalam daftar. Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan nama samaran “student”.

Contoh:

Untuk n = 20, tentukan t supaya luas daerah antara t dengan t = 0,9.

Dari grafik dapat dilihat bahwa luas luas ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 = 0,10

Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri luasnya = 1-0,05 = 0,95.

Jadi untuk m= n-1 = 20 – 1 = 19 dan P = 0,95 didapat harga t = 1,73

Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya = 0,90

E.     Distribusi Chi Kuadrat (χ²)

Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan variabel acak kontinu.Simbul yang dipakai ialah χ².

apabila besar sampel n dan varians s², maka :  χ² =  dan didapat distribusi sampling χ²  untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0, v = (n-1) = derajat kebebasam K bilangan tetap yang bergantung pada v, sedemikian sehingga luas daeah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan e = 2,7183. Grafik distribusi x² umumnya merupakan kurva positif yaitu miring kekanan, makin berkurang kemiringannya jika v makin besar.

Contoh: Gambar di bawah distribusi x² dengan n = 10.

a.       Luas daerah yang diarsir sebalah kanak = 0,025, hitung X₁²

b.      Luas daerah yang diarsir sebelah kiri = 0,05, hitung X₁²

Jawab:

a.       v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 = 0,975, dicari pada tabel di dapat X₂¹ = 19,0

b.      v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 = 0,95 dicari pada tabel  didapat X₁²

Catatan :

Karena distribusi X₂² tidak simetrik, luas ujung-ujung daerah yang diarsir bila diketahui jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang diarsir dan luas daerah ujung kanan harganya dapat berbeda-beda.

Dalam beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan yang diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.

F.      Distribusi F

Jika S₁² dan S₂² adalah varian-varians dari sampel-sampel acak independen dengan besar berturut-turut n₁ dan n₂ yang berasal dari populasi-populasi normal dengan varians-varians s₁² dan s₂², maka distribusi sampling harga S₁²/ S₂² berbentuk distribusi F dengan derajat kebebasan: dk₁ = v₁ = n₁ – 1; dk₂; v₂ = n₂ – 1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.

Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:

f (F) = K  

dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K = bilangan tetap yang harganya bergantung pada v₁ dan v₂, sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu.Kurva distribusi F tidak simetrik dan umumnya sedikit positif.

Tabel distribusi F terdapat pada lampiran, daftar tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v₁ dan v₂. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan dk = v₁ ada pada baris paling atas dan dk = v₂pada kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v₁  dan v₂.

daerah ini (0,01 atau 0,05). Untuk tiap dk = v₂, daftar terdiri atas dua baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan yang bawah untuk P = 0,01.

Daftar berisikan harga-harga F dengan kedua luas V

Contoh:

Untuk pasangan dk, v₁ = 8 dan v₂ = 29 ditulis juga (v₁, v₂) = 8,29), maka untuk P = 0,5 didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.

Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang P = 0,01 dan P = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95 digunakan hubungan:

F_{(1-P) (v1, v2)} = 

Dalam rumus di atas perhatikan antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v₁, v₂) menjadi (v₁, v₂)

Contoh:

Telah didapat F_0,05(8,29) = 2,28

Maka F_{0,095 (8,29)} = 

Telah didapat F_{0,01 (29,8)}  = 3,20

Maka F_0,099(29,8) = 

Sumber :

·         Irianto, Agus. 2008.

·         Statistik Konsep Dasar dan Aplikasinya. Jakarta: Kencana.

·         Hasan, Iqbal. 2006. Analisis Data Penelitian dengan Statistik. Jakarta: Bumi Aksara.

·         Riduwan. Dasar-Dasar Statistika.2005. Bandung : Alfabeta.

·         Sudjana. 2002. Metoda Statistika edisi ke 6. Bandung: Tarsito.

·         Tedjo N Raksonoatmodjo. 2009. Statistika Teknik.Jakarta : Refilka Aditam